Antes de empezar de hablar de sistemas de representación de números, bases, sistemas hexadecimales, y tol pescao 🐠 deberíamos hablar brevemente de lo que es un número.
En las matemáticas modernas definir un número es muy complicado. Existen números complejos, matrices, tensores, subespacios vectoriales… en fin, que el tema da para mucho.
Afortunadamente, para este curso, nos va a servir con una explicación más tradicional. Vamos a decir que:
Un número es un concepto abstracto qué sirve para identificar cantidades y medidas.
O, dicho de forma coloquial, un número es lo que aparece de forma natural cuando alguien hace 4.000 años se puso a contar ovejas (y posiblemente se durmiera).
Luego se le añadió el concepto de cero, los números negativos, los números fraccionarios… y bueno, más o menos esta historia nos las conocemos todos.
Representación de número
Digamos que “más o menos” ya sabemos lo que es un número, y que es un concepto abstracto. Pero, tenemos que encontrar una forma de representar este número. Por ejemplo, porque tengo que almacenarlo (escribirlo) o transmitirlo.
Aquí recalco, y voy a ser un poco pesado, con que no hay que confundir un número con su representación. Un número no tiene forma, es un concepto, es abstracto.
Para que se entienda, esto:
NO es una casa. Es una imagen que representa una casa. Ni tampoco la palabra casa es una casa.
La casa de verdad, es donde vives. Es una cosa grande, con paredes, en la que te puedes meter dentro, pagas una hipoteca por ella, … eso es la casa de verdad. Lo otro son solo representaciones de la casa.
De la misma forma, 1.270.000 no es un número, son símbolos que representan un número. Pero estamos estamos tan acostumbrados a ella, que acabamos pensando que ES el número. Pero no lo es, son solo trazos para escribir el número, igual que la imagen de la casita o la palabra casa.
Cómo representar un número
Imaginemos que nadie antes ha representado un número, y tenemos que inventar una forma para representarlos. Existen infinitas formas de almacenar números. Podríamos poner a inventar formas y, literalmente, no terminar nunca.
Este problema ya lo se encontraron hace miles de años las primeras personas que se dedicaron a esto. De hecho sabemos que la humanidad ha usado formas de representar números, por ejemplo, números romanos o la numeración babilónica.
Pero sigamos con lo de inventar nuestro propia forma de representar números. Empecemos con la más evidente. Vamos a poner marcas para cada número. Por ejemplo “puntitos”. Así que 1, un puntito. 3, tres puntitos.
Vale, pero no sería muy práctico tener tanto puntito. Imagina tener que contar 5.374 en una hoja para saber que número es. Esto no funciona muy bien ¿Verdad?
Entonces mejor usemos símbolos. Vamos a crear un símbolo diferente para cada número. Así ya no hay que contar tantos puntos. Pero tenemos otro problema… no vamos a memorizar 5.374 símbolos, ¿verdad?
Ahí viene el problema de los números, ¡que son muchísimos! (infinitos).
- Si uso posiciones, voy a tener muchas posiciones
- Si uso símbolos, voy a tener muchos símbolos
Ninguna de las dos opciones funciona sola. Así que se tuvieron que inventar otra cosa intermedia.
Notación posicional
¿Cómo hacemos para no tener muchísimas posiciones, y muchísimos símbolos? Con la notación posicional, que es el sistema que estás acostumbrado a usar.
La notación posicional usa tanto símbolos como su posición para representar el número
Vamos a ver como funciona,
- Definimos una serie limitada de símbolos
- Cuando incrementamos los números, pasamos de uno a otro
- Si agotamos los símbolos, ponemos el mismo símbolo a la izquierda.
Por ejemplo, imaginemos que hubiéramos cogido estos símbolos 🔵,🔺, 🟩,⭐. Nuestro sistema funcionaría así.
Os he puesto abajo el equivalente en sistema decimal, porque nos resulta más fácil de entender. Pero el número es el mismo, sólo la representación es distinta.
Concepto de base
Un poquito de teoría. Llamamos “base” al conjunto de símbolos que va a usar nuestro sistema de notación posicional. En realidad, generalmente nos referimos únicamente a la cantidad de símbolos que manejamos. Porque, los símbolos en concreto… me dan un poco igual.
Así, nuestro sistema anterior tiene esta base 🔵,🔺, 🟩,⭐, es decir, decimos que es Base 4.
La base está relacionada con lo “largos” que serán tus números
- Una base más grande, significa ocupar menos posiciones. Pero requiere aprenderse más símbolos
- Una base pequeña requiere aprender menos símbolos. Pero los números ocuparán más posiciones.
Sistema decimal
Por fin llegamos al sistema decimal, que es el sistema de notación posicional al que estamos acostumbrados. Como sabemos, la base del sistema es 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Es decir, 10 símbolos, base 10.
¿Por qué se eligió 10 símbolos y no 7 o 12? Porque patata, absolutamente por ningún motivo. Bueno sí, mírate las manos y cuenta los dedos, por ahí va la cosa 🖐️.
Además, 10 es un número de símbolos que nos resulta cómodo de memorizar. Trabajar con 500 símbolos haría muy difícil operar, por nuestra capacidad de memorización.
Pero aparte de esto, podríamos haber cogido cualquier otra base, o cualquier otro conjunto y cantidad de símbolos. Ahora lo veríamos lo más normal del mundo, igual que nos pasa con el sistema decimal.
Lo que pasa es que estamos tan acostumbrados a trabajar en sistema decimal, que cualquier otra representación “nos confunde”. Pero tened en cuenta que cualquiera de estas representaciones es tan válida como cualquier otra.