El Lugar de las Raíces (o Root Locus, en inglés) es una técnica gráfica para ver cómo se mueven los polos de un sistema en lazo cerrado cuando variamos un parámetro del controlador, normalmente su ganancia.
En el artículo anterior descubrimos que los polos de un sistema dictan su destino: si están en la mitad izquierda del plano complejo, estamos a salvo; si cruzan a la mitad derecha, el sistema se vuelve inestable y sale ardiendo.
Había un detalle fundamental que dejamos en el aire: las plantas físicas, por sí solas, no suelen ser inestables. Un motor de escobillas desenchufado no explota. Un horno apagado no oscila. La inestabilidad la provocamos nosotros cuando intentamos controlarlos y cerramos el lazo de retroalimentación.
Hoy vamos a aprender a leer el mapa del tesoro más importante de la ingeniería de control: el mapa que nos dice exactamente cuánta fuerza podemos aplicarle a un motor antes de que se vuelva loco.
Cerrar el lazo cambia los polos
Imaginemos que tenemos una planta física con su Función de Transferencia G(s). Ya sabemos calcular sus polos (las raíces del denominador). A estos los llamamos polos en lazo abierto. Son fijos y dependen de la masa, los muelles y la fricción de tu hardware. No cambian a menos que cojas una radial y cortes un trozo de hierro.
Ahora, nosotros llegamos con nuestro microcontrolador, le ponemos un sensor y le metemos un Controlador Proporcional con una ganancia K. Básicamente, le decimos al sistema: “Multiplica el error por K y empuja el motor con esa fuerza”.
Si usamos realimentación negativa unitaria y un controlador proporcional K, la ecuación característica del sistema completo cambia. Su denominador queda determinado por:
Esto tiene una implicación brutal: los polos del sistema real (lazo cerrado) ya no son los mismos que los de la planta sola. Ahora dependen directamente de nuestra variable de software K.
Si modificamos K en nuestro código, los polos se mueven por el plano complejo. Y si no tenemos cuidado, los empujaremos directos hacia el semiplano derecho (la zona de inestabilidad).
Cómo leer el mapa
El Lugar de las Raíces es, literalmente, dibujar con un rotulador los caminos por los que van a viajar los polos si empezamos a subir K desde 0 hasta el infinito.
Aunque trazarlo a mano requiere bastantes matemáticas, los ingenieros de control usamos software para dibujarlo. Para interpretarlo, solo necesitas conocer cuatro “leyes de tráfico” básicas:
- Punto de Partida (K=0): Cuando el controlador está apagado o no hace fuerza, los polos del sistema cerrado coinciden exactamente con los polos en lazo abierto de la planta (las X). Todo empieza aquí.
- Punto de Llegada (K=∞): Si le damos ganancia infinita al controlador, los polos viajan irremediablemente hacia los ceros del sistema (las O), o si no hay suficientes ceros, se escapan hacia el infinito siguiendo unas líneas rectas llamadas asíntotas.
- Puntos de ruptura: A veces dos ramas que recorren el eje real se encuentran y abandonan el eje como una pareja de polos complejos conjugados. No tienen por qué situarse sobre el eje imaginario; aparecen simétricas por encima y por debajo del eje real.
- Traducción física: Tu sistema, que antes era predecible y perezoso (sobreamortiguado), acaba de adquirir la capacidad de oscilar y hacer overshoot (subamortiguado).
- Cruces del eje imaginario: Cuando una rama entra en el semiplano derecho, el lazo cerrado pasa a ser inestable. El cruce delimita un intervalo de ganancia estable; según el sistema, puede haber más de un cruce.
Un sistema de tres polos
Vamos a poner el ejemplo clásico que hace sudar a los estudiantes de ingeniería: un sistema con tres polos (por ejemplo: un motor que tiene inercia mecánica, retardo eléctrico en la bobina, y un pequeño retardo en el filtro del sensor).
Cuando dibujamos el Lugar de las Raíces de esto, vemos que dos de los polos se atraen, chocan y se desvían hacia la derecha. ¡Van directos a la zona inestable!
Para que lo veas con tus propios ojos, he preparado este simulador. Sube poco a poco la ganancia K del controlador y observa cómo se mueven los puntos rojos (los polos actuales) a lo largo del mapa.
Qué podemos leer en el gráfico
Si has jugado con el simulador, habrás notado varias cosas críticas para tu carrera como programador de hardware:
- Más fuerza NO siempre es mejor. Es la trampa de los novatos. “Si el motor no llega a la marca, le subo la P del controlador”. Como hemos visto, subir K hace que el sistema responda más rápido al principio, pero a costa de oscilar más. Si te pasas, la oscilación crece al infinito.
- Podemos acotar la ganancia. Gracias a este mapa podemos determinar los valores de
Kque mantienen los polos en el semiplano izquierdo y elegir una zona que además cumpla nuestros requisitos de amortiguamiento y rapidez. - Podemos diseñar un compensador. Un controlador PID modifica los polos y ceros del lazo abierto: el término integral introduce un polo en el origen y la combinación de términos introduce ceros. Al colocarlos adecuadamente, podemos deformar las trayectorias para obtener una respuesta más conveniente.
Sintonizar un PID es, en el fondo, moldear y deformar este mapa del Lugar de las Raíces para que el sistema haga exactamente lo que nosotros queremos sin volverse loco.
Hemos visto qué pasa cuando cambiamos la fuerza (K) de nuestro controlador. Pero nos falta una herramienta más en nuestro arsenal analítico. ¿Qué pasa si lo que cambia no es nuestro controlador, sino la frecuencia a la que le mandamos órdenes al sistema?
