Un sistema de primer orden es un modelo dinámico cuyo denominador tiene grado uno. Su comportamiento está dominado por un único polo, por lo que un sistema estable de este tipo responde de forma exponencial y no oscila por sí solo.
Si en el artículo anterior vimos que la Función de Transferencia era la “caja negra” que representaba a nuestra planta física, hoy vamos a abrir la caja más sencilla de todas. Los sistemas de primer orden son, sin lugar a duda, el “Hola Mundo” de la teoría de control.
Si te has perdido el artículo anterior donde explicamos de dónde sale la Transformada de Laplace y la Función de Transferencia, es el momento de leerlo. leer más ⯈
Ejemplos de la vida real
Para que nos hagamos una idea de lo comunes que son, nosotros los makers lidiamos con sistemas de primer orden casi a diario sin darnos cuenta:
- Calentar un bloque calentador (Hotend): Le aplicas un voltaje constante a la resistencia. La temperatura no sube de golpe a 200°C, sino que sube poco a poco siguiendo una curva suave hasta estabilizarse, debido a la masa térmica del bloque.
- Cargar un condensador (circuito RC): Si conectas una resistencia y un condensador a una fuente de alimentación, el voltaje en el condensador sube gradualmente a medida que acumula carga.
- Un motor de corriente continua (DC) idealizado: Si ignoramos la dinámica eléctrica de sus bobinas, un motor sometido a un voltaje constante puede aproximarse mediante la misma curva suave debido a la inercia de su rotor.
La función de transferencia canónica
Muchos sistemas térmicos, hidráulicos, mecánicos o eléctricos pueden aproximarse mediante la forma canónica de primer orden en el dominio de Laplace:
Este modelo tiene solo dos parámetros que describen su respuesta. Si conoces estos dos valores de tu planta, ya tienes una aproximación bastante útil. Vamos a desgranarlos.
Ganancia estática (K)
La ganancia estática K responde a la pregunta: ¿Cuánto se mueve en total el sistema?
Es la relación directa entre la entrada y la salida cuando ha pasado el tiempo suficiente y el sistema se ha estabilizado (lo que llamamos el régimen permanente).
Por ejemplo, si usamos como entrada la potencia de un calentador y al aplicar 1 W la temperatura final queda 20 °C por encima del ambiente, la ganancia del modelo es K = 20 °C/W. Si aplicamos 2 W, el modelo lineal predice un incremento de 40 °C. Es un factor de escala con sus unidades correspondientes.
Constante de tiempo (τ)
La constante de tiempo τ (tau) responde a la pregunta: ¿Cómo de rápido se mueve el sistema?
Esta parte depende directamente de la física. Si metemos un bloque de aluminio enorme en la impresora 3D, la constante τ será grande (tardará mucho en calentarse). Si ponemos una resistencia de montaje superficial enana, τ será muy pequeña (se calentará casi al instante).
Matemáticamente, la constante de tiempo τ es el tiempo que tarda un sistema de primer orden estable en recorrer el 63,2 % del cambio total tras aplicar un escalón en la entrada.
Análisis de la respuesta al escalón
La prueba del algodón en control automático es aplicar un escalón unitario a nuestra planta. Esto significa que nuestra entrada u(t) está a 0, y de repente, en el instante t=0, la subimos a 1 (como si encendiéramos un interruptor) y la dejamos ahí para siempre.
La ecuación en el dominio del tiempo que describe cómo sube nuestra salida y(t) es:
No hace falta que te la aprendas de memoria, pero fíjate en cómo funciona la constante de tiempo evaluando esta ecuación en instantes de tiempo muy específicos:
- En t=τ (Ha pasado 1 constante de tiempo): El sistema ha alcanzado el 63.2% del valor final.
- En t=2τ: El sistema va por el 86.5%.
- En t=3τ: El sistema va por el 95.0%.
- En t=4τ: El sistema va por el 98.2%.
- En t=5τ: El sistema va por el 99.3%.
Normalmente asumimos que a partir de 4τ o 5τ, el sistema ya ha terminado de reaccionar y se considera que ha llegado al régimen permanente. Así que, si calentar tu hotend hasta el 63% le cuesta 10 segundos (τ=10s), sabrás que le costará casi 50 segundos (5τ) llegar a la temperatura final estabilizada.
Simulador interactivo de primer orden
La mejor manera de entender esto no es leyendo, es tocando. Hemos preparado este simulador interactivo. Juega con la ganancia estática K y la constante de tiempo τ, y observa cómo se deforma la curva exponencial.
Fíjate bien en el simulador: si mantienes τ, cambiar la ganancia K no altera la rapidez relativa de la respuesta. Solo cambia su valor final. En este modelo, la escala temporal la determina τ.
¿Por qué nos importa tanto identificar si nuestro sistema es de primer orden?
Porque si sabemos que la planta no tiene inercias cruzadas ni elementos que reboten entre sí (como un muelle acoplado a una masa), sabemos matemáticamente que el sistema nunca va a oscilar por sí solo. La curva subirá, más rápido o más lento, pero subirá suavemente hasta estabilizarse.
Sabiendo esto, un controlador PI (proporcional-integral) suele ser un buen punto de partida. La acción derivativa puede no ser necesaria, aunque dependerá del retardo, el ruido, las perturbaciones y los requisitos de respuesta.
Pero el mundo no es perfecto. Los motores arrastran pesos, los drones tienen inercias inmensas y los aviones tienen alas que se doblan. Cuando el sistema tiene la capacidad de almacenar energía de dos formas distintas que interactúan entre sí (por ejemplo, velocidad e inercia, o condensador y bobina), la cosa se pone divertida. Empezamos a rebotar.
