En ingeniería, una Planta es el sistema físico que queremos controlar, mientras que la Función de Transferencia describe cómo responde esa planta relacionando lo que le metemos (entrada) con lo que nos devuelve (salida).
En los artículos anteriores vimos la diferencia entre mandar a ciegas y usar retroalimentación, y cómo un control On/Off nos destrozaba los relés. Ahora vamos a dar un paso atrás.
Antes de intentar controlar algo con algoritmos avanzados como un PID, tenemos que entender qué estamos intentando controlar. No podemos diseñar el controlador si no sabemos cómo reacciona la planta.
El problema del mundo real
Como programadores, estamos malacostumbrados. En el código, las cosas son proporcionales e instantáneas. Si escribes una función que multiplica por dos, y = 2 * x, en el mismo milisegundo que x vale 10, y vale 20.
El mundo físico no funciona así. Pensemos en un motor de corriente continua (DC). Si le aplicamos el doble de voltaje, eventualmente girará al doble de velocidad. Pero no lo hará al instante.
El motor tiene un rotor con una masa (inercia) que se resiste a acelerar, y unos rodamientos (fricción) que se oponen al movimiento. El comportamiento de este motor en el tiempo se rige por ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales son la forma en la que la física explica cómo cambian las cosas. El problema es que son un infierno para trabajar con ellas cuando queremos diseñar un controlador en papel o en código.
La caja negra
Para no volvernos locos con la física pura, los ingenieros de control usamos un enfoque pragmático: el modelo de caja negra.
No nos importa si dentro del motor hay bobinas de cobre, imanes de neodimio o un mecanismo interno complicadísimo. Solo nos importa la relación entre la señal que le mandamos, la entrada U(t), y la variable que medimos, la salida Y(t).
Queremos una expresión que nos diga: “Si le meto este escalón de voltaje, la velocidad va a hacer esta curva en el tiempo”.
La transformada de Laplace
Para simplificar el problema usamos una de las herramientas más útiles de la teoría de sistemas: la Transformada de Laplace.
No vamos a entrar en la matemática profunda, pero conviene saber qué hace. Laplace es como un «traductor»: toma funciones que viven en el dominio del tiempo (donde aparecen derivadas e integrales) y las transforma al dominio de la frecuencia compleja, también llamado dominio de Laplace.
En este dominio manejamos una variable compleja llamada s. Y aquí ocurre lo interesante, siempre teniendo en cuenta las condiciones iniciales:
- Hacer una derivada se convierte simplemente en multiplicar por
s. - Hacer una integral se convierte simplemente en dividir por
s.
Las ecuaciones diferenciales se han convertido en operaciones algebraicas con polinomios de s, mucho más cómodas para analizar un sistema.
La función de transferencia
Gracias a la transformada de Laplace podemos definir la Función de Transferencia, que normalmente llamamos G(s) o H(s). Esta representación se aplica a sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI) o a modelos que aproximamos como tales alrededor de un punto de trabajo.
Se define como el cociente entre la salida del sistema y la entrada del sistema en el dominio de Laplace (asumiendo que partimos del reposo absoluto):
Piensa en la función de transferencia como una descripción de la dinámica entre una entrada y una salida. Suele ser una fracción matemática (un polinomio dividido por otro) que recoge la ganancia y las dinámicas relevantes del modelo, aunque no describe por sí sola todos los estados internos del sistema.
Si pasamos la entrada multiplicando al otro lado, nos queda:
Es decir, la salida es literalmente la entrada multiplicada por la planta. Esto hace que calcular cómo va a reaccionar un sistema sea tan fácil como multiplicar dos fracciones.
Qué modelamos en la función de transferencia
Cuando modelamos una planta real para meterla en este formato G(s), normalmente identificamos tres fenómenos físicos fundamentales que nuestra función de transferencia debe representar:
Responde a la pregunta: ¿Cuánto reacciona? Si le meto 1 voltio más al calentador, ¿cuántos grados extra consigo en régimen permanente? Esto nos dice la “fuerza” bruta del sistema.
Responde a la pregunta: ¿Cómo de rápido reacciona? Un bloque de aluminio enorme tardará minutos en calentarse (mucha inercia térmica). Un filamento de bombilla se calienta en milisegundos. Esta inercia es la que genera las curvas suaves en lugar de cambios bruscos, y se representa mediante los “polos” (las raíces del denominador) en nuestra función G(s).
Responde a la pregunta: ¿Cuánto tarda en enterarse? Imagina que controlas la temperatura del agua de una ducha, pero el sensor de temperatura está a 5 metros por la tubería. Cuando cambias el grifo, el agua caliente tarda 2 segundos físicos en viajar por el tubo hasta el sensor. Durante esos 2 segundos, el sistema no hace absolutamente nada. El retardo es el enemigo número uno de la estabilidad en el control.
No necesitamos saber resolver integrales complejas para hacer robótica, pero sí necesitamos entender que la Función de Transferencia G(s) es la representación matemática de la física de nuestro sistema.
Saber que un sistema tiene inercia y retrasos nos permite dejar de tratarlo como una simple variable de software y empezar a tratarlo como un ente dinámico.
